各位思考一下這個式子，這就是貝氏定理的基本形，懂這個觀念就受用無窮了。
這公式看起來嚇人，其實數學就是解讀這些符號的意義，簡單說明一下就可了解，不用太過恐慌。有數學恐慌症的人忍一下，接下來我們用想像的就可以。
這個公式 P 指的是英文 Probability就是機率。A代表發生了A事件。B代表發生了B事件。
那麼P(A)就是指發生A的機率，P(B)就是指發生B的機率。P(A|B)就是指發生B又發生A的機率。
然後我們看等式右邊，右邊告訴我們，如果要知道P(A|B)就要知道
P(A)就是指發生A的機率
P(B)就是指發生B的機率
還有P(B|A)就是指發生A又發生B的機率。
生活上我們常遇到這樣的陳述，例如
屋漏偏逢連夜雨 -- 如果我們想算"屋漏偏逢連夜雨"的機率，就是P(連夜雨 | 屋漏)
船遲又遇打頭風 -- 如果我們想算"船遲又遇打頭風"的機率，就是P(打頭風 | 船遲)
積善之家必有餘慶 -- 如果我們想算"積善之家必有餘慶"的機率，就是P(有餘慶 | 積善之家)
如果一個班級有男20人，女30人。每一個人都有座號。我們可以問座號是單數又女生的機率是多少 -- P(女生 | 座號單數)
二三子：夫子，可以問P(A | A)嗎？
當然可以，這就是再發生的機率。像說，台北發生七級大地震，再發生一次相同的大地震的機率是多少 -- P(七級大地震在台北 | 七級大地震在台北)
我中了大樂透，再中一次的機率是多少 -- P(我中了大樂透 | 我中了大樂透)
真人真事
妳在家裡面發現老公的內褲不見了，老公外遇的機率是多少 -- P( 老公外遇 | 老公內褲不見)
妳發現老公的衣服有香水味，老公外遇的機率是多少 -- P(老公外遇 | 老公衣服有香水味)
答案其實很低…通常是跟狐朋狗友風花雪月玩玩便是。
所以妳就要問會去風花雪月的場所的男人，會有外遇的機率 -- P(老公外遇 | 老公會去風花雪月的場所)
*到此，我們其實在學習問對的問題。只有能問出對的問題才表示我們懂了這個問題。大家有沒有覺得數學其實很實用的。*
所以，所謂的條件機率就是指，當我們得到新的資訊時，我們要調整已經評估過的機率。像說，我們知道這個社會中老公外遇的機率是30%。也就是100對夫婦有30對的老公會外遇。這也是我們評估自己老公的外遇的機率。但如果你在路上看到自己的老公跟其它女性走在一起(新的資訊)，外遇機率的評估就要從新估算了，而這個機率就是
P(老公外遇 | 跟其它女性走在一起)
說明到這裡，對貝氏定理的公式是不是就不那麼艱澀難懂！接下來不可免的，我們要提到Monty Hall三門問題。題目是這樣…
有三道門讓來賓選擇，其中有一道門後是車子，其它兩道門是羊。只要選中就可以帶走門後的東西。當來賓選擇其中一道門後，主持人會把另外兩道門中是羊的那一道打開給來賓看，然後問來賓換不換？請問，選擇"換"得到車子的機會大，還是選擇"不換"得到車子的機會大。
這個問題很直觀的，得到車子的機率是1/2跟換不換門沒有關係。連數學大師也認為是1/2，跟換不換門沒有關係。直觀就是一種用自己的經驗，認知，習慣看待事情的方法。我們稱其為業力！因為"直觀"就會得到不變的結果。很多事都要經過分析，要洞查其內在的因素。
夫子：所以答案是要換，換了門，得到車子的機會就會變成2/3。
我們用貝氏定理來算算看
主持人開了門，就是一個新的資訊，讓我們重新評估自己選到車的機率。所以我們要問出對的問題才能算。
一開始不管我們選那一個門得到大獎的機率是1/3，這是事件A--得大獎。
如果我們問，換了門又得到大獎的機率P(A | 換門)，要算這個式子就要知道P(A)--事件A大獎的機率和P(換門) -- 換門的機率。這個問題在這裡就產生了矛盾，我們就是要知道換門得大獎的機率，現在卻需要知道換門的機率！如果可以知道換門的機率，那就不用問換門得大獎的機率了。這個問題問的不對！
如果我們問，主持人選三號門而得大獎的機率是多少 -- P( A | 主持人選三號門)。要算這個式子就要知道 P(A)--事件A得大獎的機率和P(主持人選三號門) -- 主持人選三號門的機率。我們是否可以算 P(主持人選三號門) -- 主持人選三號門的機率。這問題是合羅輯的，可以算算。直觀來看主持人選三號門的機率是由"得大獎且主持人選三號門" + "沒得大獎且主持選三號門"
也就是
P(主持人選三號門) =
P(得大獎且主持人選三號門) + P(沒得大獎且主持選三號門) = 1/3*1/2 + 1/3*1 = 1/2
P( A | 主持人選三號門) =
P( 主持人選三號門 | A ) * P(A) / P(主持人選三號門) = (1/2 * 1/3) / (1/2) =1/3
啊哈！
P( A | 主持人選三號門) 其實就是指我們一開始就選到了大獎的門，我們不該換的機會。
那如果是我們一開始始就選到了沒有大獎的門呢！就是
P(沒有大獎 | 主持人選三號門) --> 因為一開始沒選到大獎的門，所以一定要換門的！
P(沒有大獎 | 主持人選三號門) = 1 - P( A | 主持人選三號門 ) = 2/3
當然我們也可以再用貝氏定理再算一次
P(沒有大獎 | 主持人選三號門) =
P( 主持人選三號門 | 沒有大獎) * P(沒有大獎) / P(主持人選三號門) = (1/2*2/3)/ (1/2) = 2/3
所以一定要換的啊！因為我們一開始有2/3的機率選不到大獎！
我們看看下表
Monty Hall
我們用電腦隨機產生了60次的三道門。1代表車子，0代表羊，藍線代表換門中大獎車子的機會，紅色代表不換門中大獎車子的機會。如果每次都選第一個門，且不換門，那得到車子是1/3。這也代表選中羊的機會是2/3，這就是不換門的機率。現在，我們來思考換門會如何，如果我們一開始選到車子的門，當主持人打開羊門時，我們換門就會失去車子。如果一開始我們選到羊門，當主持人打開羊門，我們換門就會得到車子。既然我們選到羊門的機率是2/3，當然我們要換門，因為有2/3的機率換門會得到車子。
從上表我們可以發現選中羊門的機率是高的，但選中羊門只要換門就一定會中車子。這樣看來，最好第一次要選到羊門才是好事，這不就是所謂賽翁失馬焉知非福！我們都被訓練成去理解達到目標的機率，很少去想達不到目標的機率。Monty Hall問題就是去理解我們失敗的機率有多高。
基於此，我們再看看達不到目標的機率的例子。
現在的醫院都是靠新的科技和機器在檢驗人的疾病。但不論什麼樣的檢測都有可能有偽陽性(沒有被檢查為有)，偽陰性(有被檢查為沒有)的誤檢。我們更可以大膽的宣告，沒有一個方法可以百分之百檢驗出人的疾病！如果沒有辨法百分之百檢驗，就存在機率的問題了。
存在機率的問題，我們就要問
當我們被檢查為有某種疾病時，有多少機率是真的有？
當我們被檢查為沒有某種疾病時，有多少機率是真的沒有？
我們假設，現在有一種檢查 "得了就會死" 的疾病的方法，檢出率為99%，但同時對於偽陽性，也就是沒有卻檢出為有的機率為5%。當你被檢為陽性時，你真得就有這個疾病嗎？
我們可以用貝氏定理來算一下
P( 真的得病 | 檢為陽性 )=
P( 檢為陽性 | 真的得病)*P(真的得病) / P(檢為陽性)
現在我們沒有的訊息是P(真的得病)的機率，我們假設一下，一個社會中得到 "得了就會死" 病的人數是6%，這個就是 P(真的得病)
P(檢為陽性) - 被檢為陽性的機率當然包含 "有病檢為陽性" + "沒有病檢為陽性" =6%*99% + 94% * 5% = 10.64%
P( 真的得病 | 檢為陽性 ) = 99%*6% / 10.64% = 55.827%
怎麼會這樣？跟投銅板差不多…
問題就是偽陽性！社會中得到這個病的機率是6%也就是說1000人中有60人會得，有940人不會得。99%的檢出率，看起來很高，但也只有針對得病的60人而言，60*99%=59.4人。相對的940人會有5%的人被檢出為有，940*5%=47人。59.4比上47，這個比例不算明顯。
依賴機器、科技和技術的醫學，各位可以好好檢驗看看，有多少可信！
最後，我們知道，台灣是科技量產大國，因為量產，所以東西便宜。東西要便宜成本就要低，成本要低，良率就要高。對於工程量產的良率，常常有人說要把量產良率提高到80%很容易，但要到90%就很難了。為什麼？
我們應該由貝氏定理的角度來思考。以良品而言，80%到90%，提升了12.5%。但對不良品而言，是20%到10%，減少了50%，這個比例改變是大且困難的！當良率越高，就越難提升，每一次的提升都是減少不良品約50%，但良品卻只提升1~2%。這就是困難的原因，良率越高，代表未知越少，以機率來說，未知越少，越難找到未知。越難找到未知，就越難減少不良品。
貝氏定理剛好詮釋了工程未知的極限。
