赫斯特參數 Hurst parameter I

Harold Edwin Hurst (1880-1978) 是英國的水文學家。會發明赫斯特參數，是因為赫斯特在埃及造水庫時，必需了解和估計每年河水流量的大小，才能設計相對應的水庫大小。在研究的過程中，赫斯特了解到統計上使用標準差來估計河水流量風險是很大的，他必需要有新的參數來做參考，這個參數，就以赫斯特為名。

之後赫斯特發表了論文，當然，就好像許多超越時代的思想一樣，當下總是令大多數人困擾的。所以從各界來的評論聲不絕於耳。這一下，赫斯特決心讓大家了解到這參數的價值，便收集了世界上所有的自然數據，雨量，樹年輪，溫度，颶風…，把這些數據的赫斯特參數全都求出來。

但是，不信的人還是不信。

我們該來學習一下，什麼是赫斯特參數。就先從一個小小的數列開始吧！假設我們量到一組數列
a=[1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1]
我們可以計算他的標準差 s=1.0541。
我們可以任意的變換a數列的順序，但標準差是不會改變的。因為標準差與數據順序無關。
我們現在把a的數據順序重排一下。
b=[1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1]
我們再計算一下b的標準差s=1.0541。

我們可以明顯的看出a和b的不同。b是相同正跟負放在一起，而a是正負號隨機分佈。但他們的標準差一樣，也就是說，標準差無法區別一個數據的順序(時間先後)。為了解決這個問題，我們要了解重標極差(rescaled range) R/S，S就是標準差。

R怎麼計算？首先，計算一下a和b的平均值，a和b都是平均值為零的數列，現在我們把每一個數列裡的每一個值減掉平均值，再一個一個累加起來，那麼R就是取這數列的最大減最小
a=[1 2 1 2 1 0 1 2 1 0]...R=2-0=2 ->R/S = 2/1.0541 = 1.8974
b=[1 2 3 4 5 4 3 2 1 0]...R=5-0=5 ->R/S = 5/1.0541 = 4.7434

如果我們將一個很長的數列，取出不同長度的部分求出R/S，然後以取出的長度對R/S做圖，找出其線性回歸的指數，即是赫斯特參數。

下圖是我們用股票資料跑出來的赫斯特參數


左邊跟右上為線性回歸的結果圖，右下為赫斯特的估計值。為什麼赫斯特參數會變動，這是因為對不同數量的R/S進行線性回歸的關係。

赫斯特參數的如果為0.5，表示為隨機性高。
如果是大於0.5，小於1，表示為順趨勢的傾向高，也就是說，今天漲，明天漲的機會高。
如果是小於0.5，大於0，表示為反趨勢的傾向高，也就是說，今天漲，明天跌的機會高。

看得出，這股票的順趨勢的偏向性不高。是有偏向，但不高。